東工大 幾何学セミナー

A∞型超ケーラー多様体は、Anderson-Kronheimer-LeBrunによって導入された 実4次元の非コンパクト完備超ケーラー多様体の族である． この多様体の族は，可算無限個の変形のパラメーターをもつが， その取り方を変えればリーマン計量の漸近挙動を変えられることがわかっている． そのときに，複素構造を変えずにリーマン計量の漸近挙動を変形できることが 新たに分かったので，その結果について紹介する． ま，、上記の証明の手法を応用すると 任意のA∞型超ケーラー多様体に代数多様体の構造が入ることもわかる．

単調なコンパクト型Hermite対称空間 M の二つの実形 L₀, L₁ に対して 各々の最小Maslov数が$3$以上という条件のもとで、 Z₂係数の Floerホモロジー群 HF(L₀, L₁, Z₂) を計算する． 特に，M が既約の場合にはY.-G.OhによるArnold-Givental不等式の一般化 が得られる． 時間が許せば，ハミルトン体積最小性問題への応用についても述べたい． 講演内容は，酒井高司氏(首都大)， 田崎博之氏(筑波大)との共同研究に基づく。

Consider the self-dual conformal classes on n # CP^2 discovered by LeBrun. These depend upon a choice of n points in hyperbolic 3-space, called monopole points. I will discuss the limiting behavior of various constant scalar curvature metrics in these conformal classes as the points approach each other, or as the points tend to the boundary of hyperbolic space. There is a close connection to the orbifold Yamabe problem (which I will show is not always solvable, in contrast with the case for compact manifolds).

R⁴ と R³ に関するLeBrun-Mason型 ツイスター対応について, 次元簡約によってそれらを関係づける方法について説明する. この手法により, R^4 上の不定値自己双対共形構造を, 平坦な３次元ローレンツ空間上のモノポール方程式の解から構成できるが, この解が本質的に二次元の円柱上の関数によって パラメトライズされることを説明する. また応用として, ３次元ローレンツ空間上の波動方程式の解が 円柱上の関数からのある自然な積分変換によって得られることがわかる.

O'Neill-Stielの定理により， 3次元球面内の完備な外的平坦曲面 (ガウス・クロネッカー曲率が 常に消える曲面)は全測地的なものに限ることが知られていが， ある種の特異点を許容すると非自明な例が数多く存在する．本講演では， それらの分類結果を紹介する． 鍵となる考えは，3次元球面のミニツイスター空間に付随する計量 を用いることである． また，分類の応用として，双対性と焦面に関する結果も紹介する．

3次元空間形内に与えられた結び目に対し， これを含むような外的平坦な閉じた帯の位相型の分類について話す． これは，Chicone-Kalton および Røgen の結果の 拡張・精密化となっている．

ある仮定のもとで スペシャルラグランジュ部分多様体の孤立特異点は貼り合せの方法により 解消されることをリーやジョイスは証明した． リーやジョイスの定理は存在定理である． 本講演では，その一意性を証明する． 一意性の意味を正確に述べるためには スペシャルラグランジュ部分多様体のモジュライ空間が必要である． 貼り合せはモジュライ空間の局所座標系を定義する．

Joyce-Lee-Tsuiの方法を拡張した方法 (Joyce-Lee-Tsuiの論文のTheorem Aの方程式を拡張した方程式を使い， その方程式の解を求めるという方法) によってラグランジアン平均曲率流における self-similar solutionとtranslating solitonの例を構成する．

n次元複素空間Cⁿ におけるspecial Lagrangian (以下SLag) 及びLagrangian self-similar solution (以下Lag.sss) の構成法をtoric coneに拡張することにより, 高さ１のトーリックダイアグラムから構成される toric (almost) Calabi-Yau coneの中にSLag及びLag.sssを構成する. また得られた主定理を複素３次元Calabi-Yauに適用することで 今までにないtopologyをもつ SLag及びLag.sssの例が構成できることを見る.

複素多様体上にVaisman計量と呼ばれる特殊なエルミート計量 が入るかどうかを調べる。 Vaisman計量をもつコンパクト複素多様体はある種の トポロジカルな条件を満たすことが知られている。 その条件を用いて不変な複素構造をもつ可解リー群の 等質空間上でVaisman計量の存在、非存在を調べる。 特に、OeljeklausとTomaが整数論を用いて構成した新種の 複素多様体を可解リー群の等質空間として表示し、 Vaisman計量の存在、非存在について詳しく調べる。

Branson's $Q$-curvature of even-dimensional compact conformal manifolds integrates to a global conformal invariant called the total Q-curvature. While it is topological in two dimensions and is essentially the Weyl action in four dimensions, in the higher dimensional cases its geometric meaning remains mysterious. Graham and Hirachi have shown that the first metric variation of the total Q-curvature coincides with the Fefferman-Graham obstruction tensor. In this talk, the second variational formula will be presented, and it will be made explicit especially for conformally Einstein manifolds. The positivity of the second variation will be discussed in connection with the smallest eigenvalue of the Lichnerowicz Laplacian.

E. CalabiとL. Markusは, de Sitter空間 O(n+1.1)/O(n,1) に対して以下の現象を観察した： Lorentz群 O(n+1.1) の無限部分群は, 自然な左作用でde Sitter空間へ固有不連続に作用しない. ここで, de Sitter空間は完備正定曲率Lorentz多様体の構造を有することに注意する. 当講演では, 必ずしも等質的や一定曲率でないLorentz多様体のあるクラスへ E. Calabi とL. Markusの観察が一般化できることを述べる.

次数付き線形系の体積と呼ばれる代数的な不変量を， Monge-Ampére作用素を用いて解析的に表示する。 特に偏極多様体のテスト配位が定める次数付き線形系の場合にこの公式を適用し， Donaldson-二木不変量との関係を調べる．